مقدار کشیدگی یا خمیدگی که در حرکت سیستم رخ می دهد ، انجام می شود . در واقع ، در این روش ، سرعت متوسطی که مسیرهای انتقالی دو نقطه ای که در ابتدا به هم نزدیک بوده اند به وبطور نمایی از یکدیگر منحرف می شوند ، محاسبه می شود . اگر ، بزرگترین توان محاسبه شده لیاپانوف مقدار مثبتی باشد ، سیستم دارای رفتاری آشوبی است و بالعکس . روش محاسبه به صورت زیر است :
اگر بین X_(n+1),X_n رابطه تبعی زیر وجود داشته باشد :
x_(n+1)=f(x_n ) (2-10)
می توان فاصله بین x_0+4 , x_0 را با ε و فاصله بین f^n (x_n )و f^n (x_0+4)را با تابع نمایی εe^xλ(x_0 ) نشان داده به عبارت دیگر :
εe^xλ(x_0 ) =|f^n (x_0+4)-f(x_0 )|(2-11)
که در آن e^xλ(x_0 ) در واقع ، میانگین اختلاف بین نقاط مجاور در هر تکرار را نشان می دهد . λ به نمای لیاپانوف معروف است . حد رابطه فوق به صورت زیر است :
λ(x_0 )=lim┬(ε→۰)⁡lim┬(x→∞)⁡〖۱/n log|(f^x (x_0+4)-f^x (x_0 ))/4|〗 (۲-۱۲)
و یا
λ(x_0 )=lim┬(x→∞)⁡〖۱/n log|(df^n (x_0 ))/〖dx〗_۰ |〗(۲-۱۳)
برای سری های آشوبناک مقدار توان لیاپانوف مثبت و در غیر این صورت منفی است .
برای برآورد توان لیاپانوف می توان از روش ماتریس ژاکوبین که از سوی نیچکا و دیگران[۱۱] که به شرح زیر پیشنهاد شده است ، استفاده کرد .
فرض کنید داده های {x_t } که به وسیله یک مدل خود رگرسیون غیر خطی از نوع زیر ایجاد شده اند .
x_t=f(x_(t-1),x_(t-2),…,x_(t-ml) )+e_t (2-14)
که در آن l معرف تاثیر زمانی و m طول خود رگرسیون است . e_t نیز دنباله ای از متغیرهای تصادفی مستقل با میانگین صفر و واریانس ثابت است . رابطه بالا را می توان در قالب فضا – حالت به صورت زیر نمایش داد .
[■([email protected]_(t-1)@■(⋮@x_(t-ml+1) ))]=[■(f(x_(t-1),x_(t-2),…,x_(t-ml+1) )[email protected]_(t-1)@■(⋮@x_(t-ml+1) ))]+[■([email protected]@■(⋮@۰))] (۲-۱۵)
یا به طور خلاصه تر :
x_t=f(x_t-l)+e_t (2-16)
حال ، توان لیاپانوف را می توان به این صورت تعریف کرد . اگر ، X_0, R^m σX_0 معرف دو بردار اولیه نزدیک به هم باشند ، بعد از تکرار معادله یاد شده به تعداد m بار با اعداد تصادفی یکسان و استفاده از بسط تیلور ، می توان نوشت :
|X_M-X_M^’ |=|F^M (X_0 )-F^M (X_0^’ )|≈|(DF^M )_(X_0 ) (X_0-X_0^’ )|(2-17)
که در آن F^M بیانگر M امین تکرار F و D(F^M ) X_0 نیز ماتریس ژاکوبین F بوده که در X_0 ارزیابی شده است . با استفاده از قانون مشتق زنجیره ای می توان رابطه زیر را بدست آورد :
|X_M-X_M^’ |=|T_M (X_0-X_0^’ )|(2-18)
که در آن T_M=J_M,J_(M-1),…,J_1 و J_t=(〖DF〗^M )_(x_t ) است . اگر v_l (M) بزرگترین مقدار مشخصه۴۶ ماتریس T_M^T 〖 T〗_M باشد ، توان لیاپانوف مسلط را می توان به صورت زیر تعریف کرد .
λ=lim┬(M→∞)⁡〖۱/۲M |(x|v_l (M)|)|〗(۲-۱۹)
در این حالت ، λ نرخ بلند مدت واگرایی با همگرایی بین مسیرهای زمانی را نشان می دهد . چنانچه λ مثبت باشد ، دلالت به این دارد که دو نقطه مجاور به صورت نمایی از هم دور می شوند و مثبت بودن λ به معنی همگرایی نمایی مسیرهای زمانی آن دو نقطه است . در حالت اول مثبت بودن توان لیاپانوف (λ ) حاکی از وجود یک فرآیند آشوبی است .
۲ – ۴ – ۵ : آزمون شبکه های عصبی مصنوعی[۱۲] ۴۷
از مدل شبکه‌های عصبی مصنوعی می‌توان به عنوان یک آزمون برای یافتن فرایند غیر خطی
پویا از جمله فرآیند آشوبناک در داده‌ها استفاده کرد. مدل شبکه‌های عصبی مصنوعی ، مدل‌های غیرخطی انعطاف پذیری هستند که قادرند برآورد و پیش بینی سری‌های زمانی غیر خطی پیچیده را با دقت قابل قبولی انجام دهند. مدل‌های شبکه‌های عصبی مصنوعی معمولا شامل سه لایه ورودی ، میانی و خروجی هستند. داده‌های ورودی به دو صورت مستقیم و یا غیر مستقیم و از طریق توابع انتقالی در بخش میانی به لایه خروجی مرتبط می‌شوند. ارتباط مستقیم بخش خطی و ارتباط از طریق لایه میانی ، بخش غیر خطی مدل را مشخص می‌کنند. آزمون شبکه‌های عصبی مصنوعی به صورت زیر تعریف می‌شوند:
یک مدل شبکه عصبی تعمیم یافته را می‌توان به صورت زیر نوشت :
y=β_°+Xδ+∑_i^f▒〖G(Xγ_j ) β_j+ε j=↑ , …, f〗(۲-۲۰)
که در آن δ یک بردار ضرایب ( وزن‌ها ) بین داده‌های لایه ورودی (X) و لایه خروجی (y) سیستم است ، γ شامل بردارهای ضرایب بین q لایه میانی و لایه خروجی ، β بردار ضرایب بین لایه ورودی و لایه میانی و G تابع انتقالی در لایه میانی است.همان گونه که تابع بالا نشان می دهد ، در این حالت خروجی مدل (y) تابعی از دو مؤلفه خطی (Xδ ) و غیر خطی ∑▒〖G(Xγ_j ) β_j 〗 است . اگر سری زمانی x دارای فرایند خطی باشد ، عبارت غیر خطی باید حذف شود . بنابراین در این آزمون ، می توان فرضیه صفر را β=۰ قرار داد . اگر یک فرآیند خود رگرسیون مانند AR را بر روی سری زمانی اجرا کنیم ، پسماندهای بدست آمده را می توان برای آزمون وجود فرآیند غیر خطی در سری زمانی مورد استفاده قرار داد . در صورتی که یک فرآیند خطی به داده‌ها حاکم باشد، پسماندهای یاد شده نباید با فرآیند خود رگرسیون و هر تابعی از وقفه‌ها بستگی داشته باشد، بنابراین می‌توان فرضیه صفر را به صورت E(e_t G_t )=0تعریف کرد که در آن ، 〖 e〗_tهمان پسوندهای رگرسیون خطی y روی X و Gبردار مقادیر لایه های میان مدل شبکه عصبی مصنوعی هستند . لی و دیگران[۵]۴۸نشان دادند که آماره t به شرح زیر در صورت صحت فرضیه صفر دارای توزیع کای – دو با در جه آزادی f است .
z=[T^((-1)⁄۲) ∑_(t=1)^T▒〖G_t e_t 〗] W ̂^(-۱) [T^((-1)⁄۲) ∑_(t=1)^T▒〖G_t e_t 〗](۲-۲۱)
که در آن ، W ̂برآورد کننده سازی از ϕW=var [T^((-1)⁄۲) ∑_(t=1)^T▒〖G_t e_t 〗] است . برای پرهیز از مشکل هم خطی بین X و عناصر G می توان مؤلفه های اصلی G را که با X همبستگی ندارند به جای G به کار گرفت . در این حالت ، آماره دیگری به شرح زیر وجود دارد که محاسبه آن ساده تر از آماره Z است .
〖TR〗^۲→X^2 (f)
که در آن ، T تعداد کل مشاهدات و R^2 ضریب همبستگی بدست آمده از رگرسیون خطی پسماندهای ( e ) روی مولفه اصلی G است که با X همبستگی ندارند . اگر ، آماره بالا برای یک سری زمانی بیشتر از مقادیر بحرانی داده شده در توزیع کای – دو باشد ، دلالت به این دارد که یک فرآیند غیر خطی پویا برای داده های حاکم است و در غیر این صورت ، داده ها از یک فرآیند خطی پیروی می کنند .
نکته ای که باید در این ازمون به آن توجه کرد این است که رد فرضیه صفر لزوماً به معنای وجود یک فرآیند آشوبناک نیست . بنابراین اگر پژوهشگر باید به دنبال کشف چنین فرایندی است باید از آزمون های مکمل یاری جوید .
۲ – ۵ سری های زمانی
۲ – ۵ – ۱ تعریف
سری زمانی مجموعه ای از مشاهدات است که بر حسب زمان ( یا هر کمیت دیگر) مرتب شده باشد . و معمولاً آن را به صورت زیر نشان می دهند :
X_(t_1 ),X_(t_2 ),…, X_(t_N )
این قبیل مشاهدات معمولا در کسب و کار ، اقتصاد ، قیمت سهام در بازار بورس ، شاخص های قیمت ماهانه ، ارقام فروش سالانه و غیره بدست می آیند .
۲ – ۵ – ۲ انواع سری های زمانی
سری های زمانی را معمولاً به صورت گسسته یا پیوسته بررسی می کنند . اگر مشاهدات به طور پیوسته بر حسب زمان در نظر گرفته شوند ، سری زمانی حاصل را پیوسته می نامند . اما اگر مشاهدات را به طور منظم در فاصله های مساوی ثبت کنیم یک سری زمانی گسسته بدست می آید .
۲ – ۵ – ۳ اجزاء تشکیل دهنده سری زمانی
تغییرات سری زمانی می تواند به علت تغییرات بعضی از عوامل زیر باشد که تعدادی از انها طبیعی و بعضی ناشی از عوامل اقتصادی و اجتماعی هستند . با دقت در سری زمانی و با توجه به نمودار آن ، اجزاء تشکیل دهنده سری زمانی را می توان شناخت و انها را اندازه گیری کرد . معمولا برای تحلیل یک سری زمانی فرض می کنیم این تغییرات نتیجه چهار مؤلفه اصلی هستند . این اجزاء یا مؤلفه ها به شرح زیرند .
۱ ) روند
روند عبارت از تغییرات دراز مدت در میانگین سری زمانی است . به عبارت دیگر سیر طبیعی سری زمانی در دراز مدت را روند گویند . در این صورت افت و خیزهای سری زمانی نادیده گرفته می شود و نمای کلی آن مورد توجه است . از مطالعه داده ها در یک دوره طولانی می توانیم یک ایده کلی نسبت به رفتار پدیده مورد بررسی بدست آوریم که در پیش بینی آینده به ما کمک کند .
شکل (۲-۱).روند دراز مدت [۳]
۲ ) تغییرات فصلی
تغییرات فصلی تغییراتی هستند که در دوره های تناوبی کوتاه مدت پیش می آیند . این تغییرات مربوط به عواملی هستند که به طریقی مسلم و چرخه ایی روی یک دوره کمتر از یک سال عمل می کنند . اگر مشاهدات سری زمانی به صورت سه ماه ، ماهانه ، هفتگی و یا روزانه و غیر ثبت شوند ، تغییرات فصلی در سری زمانی وجود دارد .
شکل(۲-۲). روند و تغییرات فصلی[۳]
۳ ) تغییرات دوره ای
حرکات نوسانی در یک سری زمانی با دوره نوسان بیشتر از یک سال را تغییرات دوره ای می نامند . این تغییرات در سری های زمانی به واسطه افت و خیزهایی است که بعد از یک دوره بیشتر از یک سال رجعت می کنند . نوسانات دوره ای ممکن است دقیقاً از طرح های مشابهی بعد از فواصل زمانی مساوی پیروی کنند ، ولی همیشه این طور نیست . یک دوره کامل را که معمولاً ۷ تا ۹ سال طول می کشد اصطلاحاً یک « دوره » می نامند .
شکل (۲-۳)تغییرات دوره ای[۳]
۴ ) تغییرات نامنظم
در هر سری زمانی عامل دیگری وجود دارد که آن را تغییرات نامنظم یا تصادفی می نامند . این تغییرات کاملاً تصادفی بوده و نتیجه عوامل غیر قابل پیش بینی هستند که به طریقی نامنظم عمل می کنند . این گونه تغییرات طرح معینی را نشان نمی دهند و دوره زمان وقوع انها منظم نیست ، به این دلیل است که آن را تغییرات نامنظم می نامند . این تغییرات به وسیله عواملی مانند سیل ها ، زلزله ، اعتصاب ها ، و … به وجود می آیند که رفتار انها نامنظم و غیرقابل پیش بینی است . این تغییرات به طور معمول کوتاه مدت هستند ولی گاهی اوقات اثر انها به اندازه ای زیاد است که باعث پیدایش تغییرات دوره ای و تغییرات دیگر می شود . به دلیل تصادفی بودن این تغییرات ، نه امکان جدا سازی ومطالعه انحصاری انها وجود دارد و نه انها را می توان به طور دقیق پیش بینی کرد .
شکل (۲-۴) تغییرات نامنظم

این مطلب رو هم توصیه می کنم بخونین:   مقاله دربارهشبکه عصبی، ARIMA، مدل سازی، شبکه های عصبی
دسته‌ها: No category

دیدگاهتان را بنویسید